Preguntas y Respuestas de Matemática para Postulantes a la ESFM

¡Bienvenidos al blog de exámenes para la ESFM! Aquí encontrarás consejos y recursos para enfrentar los exámenes de ingreso a la Escuela Superior de Física y Matemáticas. Prepárate de manera efectiva y alcanza tus metas académicas.

100 preguntas de matemáticas con grado de dificultad medio, cada una con 3 opciones de respuesta. Estas preguntas podrían utilizarse para un examen de admisión a estudiantes que desean estudiar matemáticas en la universidad o ESFM.

Álgebra:

¿Cuál es el valor de x en la ecuación 2x - 5 = 7?
a) 6
b) 8
c) 12
¿Cuál es el resultado de simplificar la expresión (3x^2 * 4x^3)?
a) 12x^5
b) 7x^5
c) 12x^6
Si a + 2b = 10 y a - b = 4, ¿cuál es el valor de a?
a) 6
b) 8
c) 10
¿Cuál es la solución de la ecuación cuadrática x^2 - 9 = 0?
a) x = -3
b) x = 3
c) x = ±3
Si 2x + 3 = 7x - 5, ¿cuál es el valor de x?
a) 2
b) 4
c) 1

Cálculo:

¿Cuál es la derivada de la función f(x) = 3x^2 + 2x - 5 en términos de x?
a) 6x + 2
b) 6x - 2
c) 6x + 2x
¿Cuál es la integral definida de ∫(2x + 3) dx desde 0 hasta 4?
a) 19
b) 25
c) 29
Si f(x) = x^3 - 2x^2 + 4x - 1, ¿dónde alcanza un máximo relativo?
a) x = 1
b) x = 2
c) x = 3
¿Cuál es el límite de la función (x^2 - 4) / (x - 2) cuando x se acerca a 2?
a) 2
b) 4
c) 0
Si g(x) = ln(x) + e^x, ¿cuál es la derivada de g(x) con respecto a x?
a) 1/x + e^x
b) 1 + e^x
c) 1/x - e^x

Geometría:

En un triángulo rectángulo, si un cateto mide 8 y la hipotenusa mide 10, ¿cuánto mide el otro cateto?
a) 6
b) 8
c) 4
¿Cuál es el área de un círculo con radio 5?
a) 25π
b) 10π
c) 50π
Si un cuadrado tiene un área de 49 cm², ¿cuánto mide su lado?
a) 7 cm
b) 14 cm
c) 21 cm
Si un polígono tiene 12 lados, ¿cuántos ángulos tiene en total?
a) 10
b) 12
c) 18
En un triángulo equilátero, ¿cuál es la medida de cada ángulo?
a) 60°
b) 90°
c) 120°

Álgebra Lineal:

¿Cuál es el producto escalar de los vectores [2, 3] y [4, -1]?
a) 11
b) 7
c) 5
Si A es una matriz 3x2 y B es una matriz 2x4, ¿cuál es la dimensión de la matriz producto AB?
a) 3x2
b) 2x2
c) 3x4
Si el determinante de una matriz 2x2 es 9 y la matriz es [[a, b], [c, d]], ¿cuál es el valor de a + d?
a) 3
b) 6
c) 9
¿Cuál es el espacio nulo de la matriz [[1, -2], [3, -6]]?
a) {(x, y) | y = 2x}
b) {(x, y) | y = 3x}
c) {(x, y) | y = -2x}
Si v y w son vectores en R³, ¿cuál es el resultado de v × w?
a) Un vector perpendicular a v y w
b) El producto escalar de v y w
c) Un vector paralelo a v y w

Probabilidad y Estadísticas:

Si lanzas un dado justo de 6 caras, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número par?
a) 1/2
b) 1/3
c) 2/3
En una distribución normal estándar, ¿qué porcentaje de los datos se encuentra dentro de un desviación estándar de la media?
a) 68.27%
b) 95.45%
c) 99.73%
Si tienes un conjunto de datos con 10 valores, ¿cuál es la mediana si están ordenados de menor a mayor?
a) El quinto valor
b) El sexto valor
c) La media de los quinto y sexto valores
En un experimento, la probabilidad de que el evento A ocurra es 0.3 y la probabilidad de que el evento B ocurra es 0.5. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurran ambos eventos?
a) 0.15
b) 0.8
c) 0.3
Si en un conjunto de datos la varianza es 16, ¿cuál es la desviación estándar?
a) 2
b) 4
c) 8

Ecuaciones Diferenciales:

¿Cuál es la solución general de la ecuación diferencial dy/dx = 3x^2?
a) y = x^3 + C
b) y = x^3
c) y = 3x^2
Si la solución de la ecuación diferencial y'' - 4y'

4y = 0 es y = e^(2x), ¿cuál es la otra solución linealmente independiente?
a) y = x^2
b) y = e^(-2x)
c) y = x^2e^(2x)

¿Cuál es la solución de la ecuación diferencial y' + y = 2e^(-x)?
a) y = e^(-x) + 2
b) y = 2e^(-x) - 1
c) y = e^(-x) + 1
Si la ecuación diferencial d^2y/dx^2 + 9y = 0 modela un sistema oscilatorio, ¿cuál es la frecuencia angular de oscilación?
a) 3
b) 9
c) 1
Si y(0) = 1 y dy/dx|_(x=0) = 2, ¿cuál es la solución particular de la ecuación diferencial dy/dx = y^2?
a) y = 1/(1 - x)
b) y = 1 + 2x
c) y = e^(2x)

Geometría Analítica:

Si el punto A(2, 3) es el vértice de un triángulo equilátero, ¿cuáles son las coordenadas de los otros dos vértices?
a) (2, 6) y (0, 3)
b) (4, 3) y (0, 3)
c) (4, 3) y (2, 6)
¿Cuál es la pendiente de la línea que pasa por los puntos (-3, 2) y (1, 5)?
a) 3/2
b) 2/3
c) 1/3
Si el punto P(4, 7) es el punto medio de un segmento con uno de los extremos en Q(8, 12), ¿cuál es la coordenada del otro extremo?
a) (0, -5)
b) (0, -2)
c) (8, 17)
¿Cuál es la ecuación de la recta paralela a 3x - 2y = 6 y que pasa por el punto (2, 4)?
a) 3x - 2y = 2
b) 2x - 3y = 2
c) 3x - 2y = 8
Si la ecuación de una circunferencia es (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9, ¿cuál es el centro y el radio?
a) Centro: (2, 3), Radio: 9
b) Centro: (2, 3), Radio: 3
c) Centro: (3, 2), Radio: 3

Teoría de Números:

¿Cuál es el máximo común divisor (MCD) de 24 y 36?
a) 6
b) 12
c) 24
¿Cuál es el mínimo común múltiplo (LCM) de 15 y 20?
a) 30
b) 60
c) 75
Si un número es divisible entre 2 y 3, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
a) El número es primo.
b) El número es divisible entre 6.
c) El número es impar.
Si un número termina en 0 y es divisible por 5, ¿qué propiedad numérica se cumple?
a) Transitividad
b) Reflexividad
c) Simetría
¿Cuál es el residuo de 17^3 cuando se divide entre 5?
a) 1
b) 2
c) 3

Álgebra Abstracta:

¿Cuál es la identidad aditiva en un grupo abeliano?
a) 0
b) 1
c) -1
En un anillo, ¿cuál propiedad es satisfecha por la multiplicación?
a) Conmutativa
b) Asociativa
c) Distributiva
¿Cuál es el inverso aditivo del número complejo 3 + 4i?
a) -3 - 4i
b) -3 + 4i
c) 3 - 4i
¿Cuál es la propiedad que establece que para cualquier elemento a en un grupo, existe un elemento e tal que a * e = e * a = a?
a) Cerradura
b) Inverso
c) Identidad
En un cuerpo, ¿cuál propiedad establece que para cualquier elemento a ≠ 0, existe un elemento a^(-1) tal que a * a^(-1) = 1?
a) Cerradura
b) Inverso multiplicativo
c) Distributiva

Geometría Diferencial:

¿Qué tipo de curvatura tiene una línea recta en un espacio euclidiano tridimensional?
a) Curvatura positiva
b) Curvatura negativa
c) Curvatura nula
Si una superficie tiene curvatura Gaussiana positiva en un punto, ¿cómo es su geometría local en ese punto?
a) Hiperbólica
b) Euclidiana
c) Esférica
En una curva plana, ¿cuál es la relación entre el radio de curvatura y la curvatura en un punto?
a) Son iguales
b) El radio de curvatura es el inverso de la curvatura
c) El radio de curvatura es el cuadrado de la curvatura
Si una superficie tiene curvatura Gaussiana negativa en un punto, ¿cómo es su geometría local en ese punto?
a) Hiperbólica
b) Euclidiana
c) Esférica
¿Cómo se llama la curvatura de una curva en el espacio intrínseco de la curva?
a) Curvatura intrínseca
b) Curvatura geodésica
c) Curvatura extrínseca

Matemáticas Discretas:

¿Cuál es el valor de verdad de la proposición "P ∧ ¬P"?
a) Verdadero
b) Falso
c) Indeterminado
Si A = {a, b, c} y B = {b, c, d}, ¿cuál es la unión de A y B?
a) {a, b, c, d}
b) {b, c}
c) {a, d}

¿Cuál es el resultado de aplicar la regla de inferencia modus ponens en la afirmación "Si llueve, entonces la calle estará mojada" y "Está lloviendo"?
a) La calle está mojada.
b) No llueve.
c) No se puede inferir nada.
¿Cuál es el valor de verdad de la proposición "P ∨ ¬P"?
a) Verdadero
b) Falso
c) Indeterminado
Si A = {1, 2, 3} y B = {3, 4, 5}, ¿cuál es la intersección de A y B?
a) {3}
b) {1, 2, 3}
c) {4, 5}

Cálculo Vectorial:

¿Cuál es el producto punto de los vectores [1, 2, 3] y [4, -1, 2]?
a) 8
b) 7
c) 3
Si F(x, y, z) = x^2 i + y^2 j + z^2 k, ¿cuál es el gradiente de F en el punto (1, 2, 3)?
a) ∇F = 2xi + 2yj + 2zk
b) ∇F = xi + 2yj + 3zk
c) ∇F = 3xi + 2yj + zk
¿Cuál es el resultado de calcular la divergencia de un campo vectorial constante?
a) Cero
b) El campo vectorial constante
c) Uno
Si r(t) = cos(t) i + sen(t) j + tk describe una curva en el espacio, ¿cuál es su vector tangente en el punto donde t = π/4?
a) i + j + k
b) -i + j + k
c) -i + j
Si el campo vectorial F(x, y) = y i + x j, ¿cuál es la circulación de F alrededor del círculo unitario en sentido antihorario?
a) 2π
b) π
c) 0

Análisis Real:

¿Cuál es el supremo del conjunto {x ∈ ℝ | x < 2}?
a) 2
b) 1
c) No existe
Si una sucesión {a_n} converge a 5 y otra sucesión {b_n} converge a -2, ¿cuál es el límite de la sucesión {a_n + b_n}?
a) 3
b) 7
c) -3
¿Cuál es la derivada de la función f(x) = √x en el punto x = 4?
a) 1/4
b) 1/8
c) 1/16
Si f(x) es continua en el intervalo [a, b], ¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
a) f(x) es siempre creciente.
b) f(x) puede tener máximos y mínimos locales.
c) f(x) debe ser lineal.
Si una función f(x) es diferenciable en un intervalo cerrado [a, b], ¿cuál de las siguientes afirmaciones es necesariamente verdadera?
a) f(x) es constante en [a, b].
b) f(x) es estrictamente creciente en [a, b].
c) f(x) tiene un máximo absoluto en [a, b].

Topología:

¿Cuál es el interior del conjunto [0, 1] ∪ (1, 2) en la topología estándar de los números reales?
a) [0, 1] ∪ (1, 2)
b) [0, 2)
c) (0, 2)
Si A es un conjunto abierto y B es un conjunto cerrado, ¿cuál es la relación entre A ∩ B y A ∪ B?
a) A ∩ B es abierto y A ∪ B es cerrado.
b) A ∩ B es cerrado y A ∪ B es abierto.
c) Ambos son abiertos.
Si A es un conjunto compacto y B es un conjunto cerrado, ¿cuál es la relación entre A ∩ B y A ∪ B?
a) A ∩ B es compacto y A ∪ B es cerrado.
b) A ∩ B es cerrado y A ∪ B es compacto.
c) Ambos son compactos.
¿Cuál es el complemento del conjunto [0, 1] en los números reales?
a) (0, 1)
b) (-∞, 0) ∪ (1, ∞)
c) [0, 1]
Si X es un conjunto finito en una topología discreta, ¿cuál es la relación entre los conjuntos abiertos y cerrados en X?
a) Todos los conjuntos son abiertos y cerrados.
b) Ningún conjunto es abierto ni cerrado.
c) Solo el conjunto vacío es abierto y cerrado.

Teoría de Conjuntos:

¿Cuál es la cardinalidad del conjunto de todos los números naturales?
a) ℵ₀ (aleph-null)
b) ℵ₁ (aleph-one)
c) Continuum
Si A y B son conjuntos disjuntos, ¿cuál es la unión de sus complementos?
a) A ∪ B
b) A ∩ B
c) El conjunto universal
¿Cuál es el resultado de aplicar la ley distributiva de conjuntos en la expresión A ∩ (B ∪ C)?
a) (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
b) (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
c) A ∪ (B ∩ C)
Si A ⊆ B y B ⊆ C, ¿cuál es la relación entre A y C?
a) A = C
b) A ⊂ C
c) A ⊄ C
¿Cuál es el resultado de aplicar la ley de De Morgan en la expresión ¬(A ∩ B)?
a) ¬A ∪ ¬B
b) ¬A ∩ ¬B
c) A ∪ B

Ecuaciones en Diferencias:

¿Cuál es la solución general de la ecuación en diferencias homogénea a(n+2) - 3a(n+1) + 2a(n) = 0?
a) a(n) = c₁(2^n) + c₂(1^n)
b) a(n) = c₁(3^n) + c₂(2^n)
c) a(n) = c₁(1^n) + c₂(2^n)
Si la ecuación en diferencias a(n+1) = 2a(n) + 3 tiene la condición inicial a(0) = 1, ¿cuál es el valor de a(2)?
a) 10
b) 13
c) 19
¿Cuál es la solución particular de la ecuación en diferencias no homogénea a(n+1) - a(n) = n con la condición inicial a(0) = 2?
a) a(n) = n + 2
b) a(n) = n^2 + 2
c) a(n) = n^2 + n + 2
Si la ecuación en diferencias a(n+2) - 4a(n+1) + 4a(n) = 0 tiene la condición inicial a(0) = 2 y a(1) = 5, ¿cuál es el valor de a(2)?
a) 7
b) 8
c) 10
¿Cuál es la solución general de la ecuación en diferencias de segundo orden a(n+2) - 5a(n+1) + 6a(n) = 0?
a) a(n) = c₁(3^n) + c₂(2^n)
b) a(n) = c₁(2^n) + c₂(n)
c) a(n) = c₁(3^n) + c₂(n)

Teoría de Conjuntos (Continuación):

Si A = {x | x es un número entero positivo} y B = {x | x es un número entero negativo}, ¿cuál es la intersección de A y B?
a) ∅ (conjunto vacío)
b) {0}
c) No existe intersección
¿Cuál es la ley de idempotencia en teoría de conjuntos?
a) A ∪ A = A
b) A ∩ A = A
c) A ∪ ¬A = U (conjunto universal)
Si A y B son conjuntos y A ⊆ B, ¿cuál es el complemento de A en términos de B?
a) ¬A = B
b) ¬A = B - A
c) ¬A = A - B
¿Cuál es el conjunto potencia del conjunto {a, b}?
a) {∅, {a}, {b}, {a, b}}
b) {a, b}
c) {{a}, {b}}
Si A = {1, 2, 3, 4} y B = {3, 4, 5, 6}, ¿cuál es el conjunto complemento de A ∩ B?
a) {1, 2, 5, 6}
b) {3, 4}
c) {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Análisis Complejo:

¿Cuál es la fórmula de Euler en análisis complejo?
a) e^(iθ) = cosθ + senθ
b) e^(iθ) = cosθ - senθ
c) e^(iθ) = cosθ + i senθ
¿Cuál es el residuo de la función z^2 / (z - 1) en el punto z = 1?
a) 1
b) 0
c) Indeterminado
Si z = x + yi es un número complejo y z * (conj(z)) = 25, ¿cuál es el valor de x^2 + y^2?
a) 0
b) 5
c) 25
¿Cuál es la función holomorfa?
a) Una función constante
b) Una función que es derivable en cualquier punto del plano complejo
c) Una función que solo tiene raíces complejas
¿Cuál es el valor de verdad de la afirmación "Toda función analítica es holomorfa"?
a) Verdadero
b) Falso
c) Depende del contexto

Álgebra Lineal (Continuación):

Si A es una matriz invertible y B es su inversa, ¿cuál es el producto de A y B?
a) La matriz nula
b) La matriz identidad
c) B
Si A y B son matrices diagonales, ¿cuál es el producto de A y B?
a) A * B es diagonal
b) A * B es triangular superior
c) A * B es la matriz nula
¿Cuál es el rango de una matriz?
a) El número de filas de la matriz
b) El número de columnas de la matriz
c) El número máximo de filas o columnas linealmente independientes
Si A es una matriz simétrica, ¿cuál es la relación entre A y su traspuesta?
a) A = A^T
b) A = -A^T
c) No hay relación específica
¿Qué se entiende por el núcleo de una transformación lineal?
a) El conjunto de vectores que transforma la matriz en una matriz nula
b) El conjunto de vectores en el que la transformación lineal se convierte en el vector nulo
c) El conjunto de vectores linealmente independientes

Ecuaciones en Derivadas Parciales:

¿Cuál es la ecuación de Laplace en dos dimensiones?
a) ∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2 = 0
b) ∂^2u/∂x^2 - ∂^2u/∂y^2 = 0
c) ∂u/∂x + ∂u/∂y = 0
¿Cuál es el método de separación de variables en ecuaciones en derivadas parciales?
a) Es un método numérico para resolver EDPs.
b) Consiste en asumir que la solución es un producto de funciones de una sola variable.
c) Consiste en buscar soluciones en forma de fracciones.
Si u(x, y) es la solución de la ecuación de onda ∂^2u/∂t^2 - c^2(∂^2u/∂x^2) = 0, ¿qué representa la constante c?
a) La velocidad de propagación de la onda.
b) La frecuencia de la onda.
c) La amplitud de la onda.
¿Cuál es el método de las características en ecuaciones en derivadas parciales de primer orden?
a) Un método numérico para resolver EDPs.
b) Consiste en encontrar curvas paramétricas que cumplen la ecuación dada.
c) Consiste en calcular las derivadas parciales de la función.
Si u(x, y) es la solución de la ecuación de difusión ∂u/∂t - k(∂^2u/∂x^2) = 0, ¿qué representa la constante k?
a) El coeficiente de difusión.
b) La temperatura inicial.
c) La densidad del material.

Hoja de respuestas correctas

Por supuesto, aquí tienes las respuestas en forma de los incisos correspondientes: